Análisis geoestadístico con ArcGIS parte 1. Estadística descriptiva

mar. 06, 2011 16 min de lectura

Antes de abordar en firme, el modulo de geoestadistica que viene con ArcGIS, es necesario recordar algunos conceptos de estadística, en particular de estadística descriptiva, que son necesarios para realizar un análisis geoestadístico con el software.

La estadística descriptiva, se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Para analizar los datos usualmente se construyen las tablas de frecuencias y se utilizan: la media, mediana, moda, desviación estándar, la varianza, coeficiente de curtosis, coeficiente de sesgo, coeficiente de variación, cuartiles, deciles y percentiles. Estos parámetros se agrupan en varias categorías conocidas como medidas de tendencia central, medidas de dispersión y medidas de forma.

Tablas de Frecuencias

Una forma de presentar ordenadamente un grupo de observaciones, es a través de tablas de distribución de frecuencias. Para construir una tabla de frecuencia se deben ordenar los datos de menor a mayor e incluir los siguientes parámetros.

Frecuencia Absoluta (ni) Es el número de datos que están en un mismo intervalo.
Frecuencia Relativa (fi) Es la frecuencia absoluta dividida por el número total de datos.
Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni) Es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. La última frecuencia absoluta acumulada es igual al número de casos.
Frecuencia Relativa Acumulada (Fi) Es el resultado de dividir cada frecuencia absoluta acumulada por el número total de datos.
Numero de clases

Indica el número de intervalos en que se agruparan los datos.
Amplitud de la clase o intervalo Se obtiene al dividir por dos, la diferencia del valor máximo y mínimo de los datos.
Marca de clase Es el promedio de la suma del límite superior e inferior de cada intervalo o clase.

En el caso de datos agrupados se deberán determinar el número de intervalos, la amplitud de los mismos y la marca de clase, de la siguiente forma:

Distribución normal

Una distribución de probabilidad sigue una distribución normal, cuando la representación gráfica de su función de densidad es una curva positiva continua, simétrica respecto a la media, de máximo en la media, y que tiene 2 puntos de inflexión situados a ambos lados de la media y a distancia igual a la desviación estándar, es decir de la forma:

Propiedades.

  • Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.
  • La curva normal es asintótica al eje de abscisas.
  • Es simétrica con respecto a su media. Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.
  • Cuanto mayor sea la desviación estándar, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.
  • El coeficiente de sesgo es igual a cero (0).
  • La curtosis es igual a cero (0).

Para la aplicación de los métodos geoestadísticos es necesario verificar la función de probabilidad del conjunto de datos se aproximen a un comportamiento normal, esto lo veremos más adelante en el análisis exploratorio de los datos.

Con el fin de que este sea un ejemplo práctico para abordar el análisis geoestadistico con ArcGIS, ilustraremos todo los conceptos con un ejemplo a partir de datos de monitoreo de niveles piezométricos de agua subterránea que se presentan en la tabla siguiente. Para ello se seguirán los siguientes pasos.

  1. Organizar los datos de menor a mayor.
  2. Calcular la tabla de frecuencia.
  3. Realizar el histograma de frecuencias.
  4. Calcular los parámetros geoestadístico.

Paso 1. Organizar los datos de menor a mayor

Pozo X Y Nivel Pz
(msnm)
Pozo X Y Nivel Pz
(msnm)
1 1.038.638 1.368.620 2,0 28 1.044.694 1.371.405 6,00
2 .034.835 1.344.198 2,1 29 1.041.841 1.363.397 6,1
3 1.039.637 1.368.963 2,2 30 1.040.838 1.356.677 8,0
4 1.039.628 1.368.960 2,2 31 1.044.135 1.364.301 8,07
5 1.042.236 1.377.584 2,44 32 1.046.740 1.377.526 8,08
6 1.039.030 1.370.440 2,49 33 1.046.626 1.374.772 9,02
7 .036.835 1.354.454 2,9 34 1.042.604 1.360.903 9,21
8 1.043.217 1.357.777 2,99 35 1.039.466 1.348.279 10,1
9 1.040.082 1.373.095 3,2 36 1.041.429 1.333.870 10,3
10 1.039.392 1.374.231 3,3 37 1.045.207 1.363.183 10,8
11 1.040.434 1.368.119 3,33 38 1.044.733 1.360.337 11,5
12 1.039.720 1.368.500 3,35 39 1.048.893 1.374.744 11,82
13 1.042.060 1.376.470 3,43 40 1.040.383 1.355.006 12,2
14 1.041.545 1.369.212 3,7 41 1.042.263 1.354.636 12,3
15 1.042.045 1.371.752 3,8 42 1.039.411 1.336.953 12,8
16 1.040.269 1.377.908 3,97 43 1.048.342 1.369.941 14,62
17 1.040.731 1.371.643 4,0 44 1.046.214 1.355.644 14,9
18 1.042.360 1.376.070 4,29 45 1.044.935 1.336.931 16,6
19 1.040.390 1.376.776 4,5 46 1.041.256 1.339.628 18,16
20 1.035.335 1.356.941 4,5 47 1.048.313 1.360.466 19,14
21 1.047.035 1.371.548 4,62 48 1.044.224 1.348.328 24,1
22 1.042.020 1.370.310 4,66 49 1.044.765 1.341.254 24,2
23 1.033.716 1.352.675 5,0 50 1.046.735 1.356.327 25,57
24 1.042.570 1.377.470 5,10 51 1.045.454 1.346.959 27,15
25 1.035.564 1.343.433 5,2 52 1.050.523 1.361.111 30,08
26 1.042.520 1.368.530 5,38 53 1.052.106 1.361.728 35,32
27 1.042.932 1.368.255 5,87

Paso 2. Calcular la tabla de frecuencia.

Luego la tabla de frecuencias queda como la siguiente

# Intervalo Marca de clase Frecuencia
absoluta
Frecuencia
absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
acumulada
1 2,0076 - 6,1776 4,0926 29 29 0,55 0,55
2 6,1776 - 10,3476 8,2626 7 36 0,13 0,68
3 10,3476 - 14,5176 12,4326 6 42 0,11 0,79
4 14,5176 - 18,6876 16,6026 4 46 0,08 0,87
5 18,6876 - 22,8576 20,7726 1 47 0,02 0,89
6 22,8576 - 27,0276 24,9426 4 51 0,08 0,96
7 27,0276 - 31,1976 29,1126 1 52 0,02 0,98
8 31,1976 - 35,3676 33,2826 1 53 0,02 1,00

Paso 3. Realizar el histograma de frecuencias.

A partir de la tabla anterior se construye el histograma de frecuencias, el cual nos da una idea del comportamiento de los datos. Como primer acercamiento, se observa que los datos están dispersos, sesgados y la moda, la media y la mediana son diferentes, por tanto los datos no obedecen a una distribución normal.

Paso 4. Calcular los parámetros geoestadístico

a. Medidas de tendencia central

Intentan identificar el dato más representativo de la distribución del conjunto. Son las siguientes.

Media. Se le suele llamar promedio, se define como la suma de los valores de todas las observaciones divididas por el número total de datos. Se denota con µ o X.

En su cálculo intervienen todos los datos, por lo tanto, se ven influenciados por la variación de cualquiera de ellos. En particular, es sensible a los valores extremos, pues estos producen grandes modificaciones.

Para los datos agrupados del ejemplo, tenemos lo siguiente….

# Intervalo Marca de clase (Xi) Frecuencia absoluta Producto
1 2,0076 - 6,1776 4,0926 29 118,685
2 6,1776 - 10,3476 8,2626 7 57,838
3 10,3476 - 14,5176 12,4326 6 74,596
4 14,5176 - 18,6876 16,6026 4 66,410
5 18,6876 - 22,8576 20,7726 1 20,773
6 22,8576 - 27,0276 24,9426 4 99,770
7 27,0276 - 31,1976 29,1126 1 29,113
8 31,1976 - 35,3676 33,2826 1 33,283
Suma 500,468
Media (suma/53) 9,443

Para los datos no agrupados

Pozo

NP


Pozo

NP

1

        2,0076

 

28

     6,0000

2

        2,1313

 

29

     6,1496

3

        2,2000

 

30

     8,0054

4

        2,2100

 

31

     8,0724

5

        2,4449

 

32

     8,0827

6

        2,4946

 

33

     9,0188

7

        2,8554

 

34

     9,2078

8

        2,9876

 

35

   10,1156

9

        3,2347

 

36

   10,2553

10

        3,2930

 

37

   10,8373

11

        3,3317

 

38

   11,5066

12

        3,3506

 

39

   11,8241

13

        3,4291

 

40

   12,2268

14

        3,6896

 

41

   12,3280

15

        3,7990

 

42

   12,8004

16

        3,9651

 

43

   14,6244

17

        3,9980

 

44

   14,9301

18

        4,2921

 

45

   16,6351

19

        4,4900

 

46

   18,1630

20

        4,5286

 

47

   19,1410

21

        4,6227

 

48

   24,0632

22

        4,6637

 

49

   24,2354

23

        5,0499

 

50

   25,5698

24

        5,1009

 

51

   27,1534

25

        5,2438

 

52

   30,0800

26

        5,3826

 

53

   35,3188

27

        5,8690

 

 


Suma

497,0104

Media (suma/53)

9,3776

Mediana. Es el valor de la serie de datos que deja la mitad de las observaciones por debajo de ella y la otra mitad por encima, es decir, divide al conjunto de datos en dos partes iguales y se denota por Me.

Dado que sólo depende del orden de los datos, tiene la ventaja de que no es sensible a los valores extremos.

En datos agrupados se calcula de la siguiente forma.

  1. Calcular: n/2
  2. La mediana será el valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada primero iguale o supere a N/2. Este será el intervalo en el que se encuentra la mediana.
  3. Aplicar la formula sustituyendo los valores correspondientes.

Para datos agrupados, tenemos lo siguiente….

Se calcula n/2 = 53/2 = 26.5, se busca este valor en la columna de la frecuencia acumulada de la tabla de frecuencia. Si no se encuentra, tomamos el valor siguiente, el cual es 29, por lo cual el intervalo donde se encuentra la moda es (2.0076 – 6.1776].

Fi=29
Fi-1=8
Li= 2.0076
a= 4.17

Para datos no agrupados, tenemos lo siguiente….

Como el número de datos de la muestra es impar e igual a 53, la mediana es el dato que ocupa el puesto 27(divide la muestra en dos partes iguales), el cual es: Me= 5.8690

Moda. Es el dato que más veces se repite, es decir, aquel dato o rango que presenta mayor frecuencia absoluta. Puede haber más de una moda en una distribución. Se denota por Mo.

Para datos agrupados, tenemos lo siguiente….

De los datos agrupados en la tabla de frecuencia, se observa que la mayor frecuencia absoluta es 29, por lo tanto el intervalo donde está la moda es (2.0076 – 6.1776].

Li=2.0076
a=4.17
d2=29-7 = 22
d1=29-0 = 29

b. Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. Nos dan una idea sobre la homogeneidad o que tan agrupado están los datos.

Desviación estándar. Indica cuánto tienden a alejarse los valores puntuales de la media. Se suele representar por una S. Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media, y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca de la media.

Para datos agrupados, tenemos lo siguiente….

# Intervalo Marca de clase (Xi) Frecuencia absoluta (Xi-X)²*fi
1 2,0076 - 6,1776 4,0926 29 830,111
2 6,1776 - 10,3476 8,2626 7 9,750
3 10,3476 - 14,5176 12,4326 6 53,634
4 14,5176 - 18,6876 16,6026 4 205,052
5 18,6876 - 22,8576 20,7726 1 128,365
6 22,8576 - 27,0276 24,9426 4 960,977
7 27,0276 - 31,1976 29,1126 1 386,901
8 31,1976 - 35,3676 33,2826 1 568,337
Suma 3143,12
n-1 52
S 7,774

Para datos no agrupados….

Pozo

NP

(Xi-X)²

 

Pozo

NP

(Xi-X)²

1

2,0076

54,3169

 

28

6,000

11,4082

2

2,1

52,5089

 

29

6,150

10,4200

3

2,2

51,5179

 

30

8,005

1,8829

4

2,2

51,3745

 

31

8,072

1,7035

5

2,44

48,0623

 

32

8,083

1,6768

6

2,49

47,3757

 

33

9,019

0,1287

7

2,9

42,5391

 

34

9,208

0,0288

8

2,99

40,8321

 

35

10,116

0,5446

9

3,2

37,7352

 

36

10,255

0,7704

10

3,3

37,0224

 

37

10,837

2,1307

11

3,33

36,5529

 

38

11,507

4,5326

12

3,35

36,3247

 

39

11,824

5,9854

13

3,43

35,3852

 

40

12,227

8,1179

14

3,7

32,3533

 

41

12,328

8,7049

15

3,8

31,1208

 

42

12,800

11,7156

16

3,97

29,2952

 

43

14,624

27,5289

17

4,0

28,9401

 

44

14,930

30,8303

18

4,29

25,8628

 

45

16,635

52,6713

19

4,5

23,8886

 

46

18,163

77,1833

20

4,5

23,5128

 

47

19,141

95,3240

21

4,62

22,6091

 

48

24,063

215,6668

22

4,66

22,2209

 

49

24,235

220,7542

23

5,0

18,7290

 

50

25,570

262,1873

24

5,10

18,2902

 

51

27,153

315,9791

25

5,2

17,0883

 

52

30,080

428,5894

26

5,38

15,9600

 

53

35,319

672,9459

27

5,87

12,3103

 

 

 

 

suma

3.363,14

n-1

52

S

8,042

Varianza. Describe la variabilidad de la distribución. Es la medida de la desviación o dispersión de la distribución. Se calcula mediante la ecuación.

Para datos agrupados, tenemos lo siguiente….

S² = 7.774² = 60.44

Para datos no agrupados, tenemos lo siguiente….

S² = 8.042² = 64.675

Coeficiente de variación. Mide la representatividad de la media. Valores extremos del mismo nos llevarán a concluir que la media no es representativa, es decir, existirán valores entre las observaciones que se separan significativamente de las demás.

Para datos agrupados, tenemos lo siguiente….

C.V = 7.74/9.443*100 = 82%

Para datos no agrupados, tenemos lo siguiente….

C.V = 8.042/9.3776*100 = 85.8%

c. Medidas de forma

Miden el grado de deformación respecto a una curva patrón (distribución normal).

Coeficiente de curtosis. Mide el grado de aplastamiento o apuntamiento de la gráfica de la distribución de la variable estadística. Datos concentrados respecto a la media (desviación estándar pequeña) dará una grafica alargada; si los datos están dispersos la gráfica será achatada o aplastada.

Nota: El valor calculado a través de la herramienta Geostatistical Analyst de ArcGIS no le resta 3 como aparece en la ecuación anterior.

Para datos no agrupados tenemos, lo siguiente:

Pozo

NP

(Xi-X)4

 

Pozo

NP

(Xi-X)4

1

2,0076

2.950,3256

 

28

6,000

130,1466

2

2,1

2.757,1808

 

29

6,150

108,5761

3

2,2

2.654,0983

 

30

8,005

3,5454

4

2,2

2.639,3382

 

31

8,072

2,9021

5

2,44

2.309,9875

 

32

8,083

2,8115

6

2,49

2.244,4559

 

33

9,019

0,0166

7

2,9

1.809,5744

 

34

9,208

0,0008

8

2,99

1.667,2604

 

35

10,116

0,2966

9

3,2

1.423,9469

 

36

10,255

0,5935

10

3,3

1.370,6549

 

37

10,837

4,5400

11

3,33

1.336,1150

 

38

11,507

20,5448

12

3,35

1.319,4859

 

39

11,824

35,8246

13

3,43

1.252,1157

 

40

12,227

65,9010

14

3,7

1.046,7389

 

41

12,328

75,7746

15

3,8

968,5028

 

42

12,800

137,2543

16

3,97

858,2062

 

43

14,624

757,8409

17

4,0

837,5292

 

44

14,930

950,5047

18

4,29

668,8854

 

45

16,635

2.774,2665

19

4,5

570,6668

 

46

18,163

5.957,2546

20

4,5

552,8518

 

47

19,141

9.086,6611

21

4,62

511,1702

 

48

24,063

46.512,1891

22

4,66

493,7663

 

49

24,235

48.732,4260

23

5,0

350,7750

 

50

25,570

68.742,2017

24

5,10

334,5301

 

51

27,153

99.842,7699

25

5,2

292,0101

 

52

30,080

183.688,8444

26

5,38

254,7224

 

53

35,319

452.856,1270

27

5,87

151,5428

 

 

 

 

suma

954.116,25

n-1

52

S4

4182,95

K

1,38

Coeficiente de sesgo o asimetría. Evalúa el grado de distorsión o inclinación que adopta la distribución de los datos respecto a su valor promedio tomado como centro de gravedad. El coeficiente de simetría de Pearson es:

Si CS = 0, la distribución es simétrica, en ese caso las desviaciones a la derecha y a la izquierda de la media se compensan.

Si CS < 0, la distribución es asimétrica negativa. La mayoría de las observaciones están a la derecha de la proyección de la media.

Si CS > 0 la distribución es asimétrica positiva. La mayoría de las observaciones están a la izquierda de la proyección de la media.

Para datos no agrupados tenemos, lo siguiente:

Pozo

NP

(Xi-X)3

 

Pozo

NP

(Xi-X)3

1

2,0076

-400,3156

 

28

6,000

-38,5323

2

2,1

-380,4950

 

29

6,150

-33,6357

3

2,2

-369,7752

 

30

8,005

-2,5838

4

2,2

-368,2318

 

31

8,072

-2,2235

5

2,44

-333,2017

 

32

8,083

-2,1712

6

2,49

-326,0869

 

33

9,019

-0,0462

7

2,9

-277,4485

 

34

9,208

-0,0049

8

2,99

-260,9171

 

35

10,116

0,4019

9

3,2

-231,8037

 

36

10,255

0,6761

10

3,3

-225,2662

 

37

10,837

3,1102

11

3,33

-220,9952

 

38

11,507

9,6500

12

3,35

-218,9291

 

39

11,824

14,6432

13

3,43

-210,4909

 

40

12,227

23,1296

14

3,7

-184,0258

 

41

12,328

25,6828

15

3,8

-173,6104

 

42

12,800

40,1000

16

3,97

-158,5600

 

43

14,624

144,4387

17

4,0

-155,6861

 

44

14,930

171,1850

18

4,29

-131,5267

 

45

16,635

382,2620

19

4,5

-116,7581

 

46

18,163

678,0858

20

4,5

-114,0136

 

47

19,141

930,6861

21

4,62

-107,5039

 

48

24,063

3.167,1971

22

4,66

-104,7469

 

49

24,235

3.279,9221

23

5,0

-81,0534

 

50

25,570

4.245,3899

24

5,10

-78,2215

 

51

27,153

5.616,7807

25

5,2

-70,6396

 

52

30,080

8.872,8285

26

5,38

-63,7603

 

53

35,319

17.457,0231

27

5,87

-43,1918

 

 

 

 

suma

          39.576,74

n-1

52

S3

520,13

Sesgo

1,46

A continuación se muestran los resultados obtenidos a través de las ecuaciones de datos agrupados y no agrupados, también se incluyen los resultados arrojados por la herramienta Geostatistical Analyst (la cual se verá más adelante). Se observa que los resultados obtenidos tanto por las ecuaciones aplicadas a datos no agrupados y los obtenidos por la herramienta Geostatistical Analyst son similares.

Parámetro Datos agrupados Datos no agrupados Módulo Geostatistical
analyst de ArcGIS
Observaciones
Media 9.443 9.3776 9.3776
Mediana 4.6678 5.869 5.869
Moda 4.378
Desviación estándar 7.74 8.0421 8.0421
Varianza 60.44 64.675 64.675
Coeficiente de Variación 82% 85.8% 85.75%
Curtosis 1.38 1.4709 A la curtosis que calcula ArcGIS
se le debe restar 3
Sesgo o asimetría 1.46 1.4773

En el artículo Análisis geoestadístico con ArcGIS parte 2. Análisis exploratorio de los datos veremos el análisis exploratorio de los datos para después abordar el tutorial de la herramienta Geostatistical Analyst.

Pedro Villegas

Ingeniero Civil, Master en Ingeniería con énfasis en hidrogeología